Suite géométrique de matrices colonnes (1) - Corrigé

Énoncé

Soit la matrice \(A=\begin{pmatrix} 1&1\\2&-1 \end{pmatrix}\) . On définit la suite de matrices colonnes  \((U_n)_{n\in\mathbb{N}}\)  par :  \(U_0=\begin{pmatrix} 0\\1 \end{pmatrix}\)  et, pour tout  \(n \in \mathbb{N}, U_{n+1}=AU_n\) .

1. Calculer les 3 premiers termes de cette suite.

2. Exprimer  \(U_n\)  en fonction de  \(n\)  et de  \(A\) .

3. Calculer  \(A^2\) .

4. Soit \(k\in\mathbb{N}\) , en déduire une formule explicite de  \(U_{2k}\)  puis une formule explicite de  \(U_{2k+1}\) .

5. Cette suite est-elle convergente ? Justifier.

Solution

1.  \(U_0=\begin{pmatrix} 0\\1 \end{pmatrix}\)  est donné.
\(U_1=AU_0=\begin{pmatrix} 1\\-1 \end{pmatrix}\)  
\(U_2=AU_1=\begin{pmatrix} 0\\3 \end{pmatrix}\)

2.  \(U_n=A^nU_0\)  d'après le cours.

3.  \(A^2=\begin{pmatrix} 3&0\\0&3 \end{pmatrix}=3I_2\)

4. D'après les questions 2 et 3,  \(U_{2k}=A^{2k}U_0=(A^2)^{k}U_0=(3I_2)^kU_0=3^kU_0\) .
Donc  \(U_{2k}=\begin{pmatrix} 0\\3^k \end{pmatrix}\) .
Puis  \(U_{2k+1}=AU_{2k}=\begin{pmatrix} 3^k\\-3^k \end{pmatrix}\) .

5. Cette suite n'est pas convergente. En effet (par exemple), pour  \(n=2k\)  pair, le coefficient  \(u_{2,1} (=3^k )\)  diverge vers  \(+∞\) .